Question

如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，记直线DF与平面ABC所成的角为θ，直线DF与直线BD所成的角为α，二面角E-BD-C的大小为β，求证：sinθ=sinαsinβ．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与平面之间的位置关系

专题：空间角

分析：（I）由已知条件推导出EF∥AC，从而得到EF∥平面ABC，由此能证明l∥平面PAC．
（II）过B作AC的平行线BD，交线l即为直线BD，且l∥AC，由已知条件推导出∠CBF=β，∠CDF=θ，∠BDF=α，由此能证明sinθ=sinαsinβ．

解答： （I）解：∵E，F分别是PA，PC的中点，
∴EF∥AC，∵AC?平面ABC，EF不包含于平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
又∵EF?平面BEF，平面BEF∩平面ABC=l
∴EF∥l，∴l∥平面PAC．…（4分）
（II）证明：如图，过B作AC的平行线BD，
由（I）知，交线l即为直线BD，且l∥AC．
∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，于是BD⊥BC．
∵PC⊥平面ABC，∴PC⊥BD，
∴BD⊥平面PBC．连接BE，BF，则BD⊥BF．
∴∠CBF就是二面角E-BD-C的平面角，即∠CBF=β．…（7分）
连结CD，∵PC⊥平面ABC，∴CD就是FD在平面ABC内的射影，
∴∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．
又∵BD⊥平面PBC，∴BD⊥BF，则∠BDF为锐角，∠BDF=α．…（9分）
∴在Rt△CDF，Rt△BDF，Rt△BCF中，分别得
sinθ=

CF

DF

，sinα=

BF

DF

，sinβ=

CF

BF

，
∴sinαsinβ=

BF

DF

•

CF

BF

=

CF

DF

=sinθ，
∴sinθ=sinαsinβ．…（12分）

点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断与证明，考查三角函数正弦值相等的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．