Question

设数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+l=3a_n，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}的第4项a₄及前5项和S₅；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足：b₁=1，b_n-1=

1

an-1

，T_n=b₁+b₂•3+b₃•3²+…+b_n•3^n-1，证明：数列{4T_n-3ⁿ•b_n}为等差数列．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据条件得到数列{a_n}为等比数列，即可得到结论；
（Ⅱ）根据等差数列的定义，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）因为a_n+l=3a_n，又a₁=3，所以

an+1

an

=3，
因此{a_n}是首项为3，公比为3的等比数列，
所以a_n=3ⁿ，a₄=3⁴，=81，S_n=

3(1-3n)

1-3

=

3

2

(3n-1)，S₅=

3

2

(35-1)=363．
（Ⅱ）证明：T_n=b₁+b₂•3+b₃•3²+…+b_n•3^n-1，①
T_n-1=b₁+b₂•3+b₃•3²+…+b_n-1•3^n-2，②
T_n-T_n-1=b_n•3^n-1，
所以4T_n-3ⁿ•b_n-（4T_n-1-3^n-1•b_n-1）=4•3^n-1•b_n-3•3^n-1•b_n+•3^n-1•b_n-1
=•3^n-1•b_n+•3^n-1•b_n-1=•3^n-1•（b_n+b_n-1）=1，
所以，数列{4T_n-3ⁿ•b_n}为等差数列．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的判断，考查学生的计算能力．