Question

10．（1）已知x＞0，y＞0，$\frac{1}{x}+\frac{2}{y+1}$=2，求2x+y的最小值．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，比较8-$\frac{1}{a}$与$\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}$的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\frac{1}{2x}$+$\frac{1}{y+1}$=1（a，y＞0），运用乘1法和基本不等式可得2x+y+1的最小值，进而得到2x+y的最小值；
（2）结论：8-$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}$．运用基本不等式可得ab的范围，再由作差法，得到$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}$≥8，即可得到结论．

解答 解：（1）由x，y＞0，可得
$2x+y+1=（2x+y+1）（\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+1}）=2+\frac{y+1}{2x}+\frac{2x}{y+1}≥4$（x=y=1等号成立），
可得2x+y≥3，即2x+y的最小值为3；
（2）8-$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}$．
理由：由a＞0，b＞0，a+b=1≥2$\sqrt{ab}$，
即有ab≤$\frac{1}{4}$，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}$=$\frac{a+b+1}{ab}$=$\frac{2}{ab}$≥8
则8-$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值和比较大小，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．