Question

19．若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ+1，若b_n=a_n²+n，则数列{b_n}的前n项和T_n为T_n=$\left\{\begin{array}{l}{10．}&{n=1}\\{\frac{8}{3}+\frac{{4}^{n}}{3}+\frac{{n}^{2}+n-2}{2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1的关系求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式，利用分组求和法进行求解即可．

解答 解：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ+1-2^n-1-1=2^n-1，
当n=1时，a_n=S₁=2+1=3，不满足a_n=2^n-1，
则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3}&{n=1′}\\{{2}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∵b_n=a_n²+n，
∴当n=1时，b₁=a₁²+1=9+1=10，
当n≥2时，b_n=a_n²+n=（2^n-1）²+n=4^n-1+n，
当n=1时，数列{b_n}的前n项和T₁=b₁=4，
当n≥2时，数列{b_n}的前n项和T_n=b₁+（b₂+b₃+…+b_n）=10+$\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$+$\frac{（2+n）（n-1）}{2}$=10-$\frac{4}{3}$+$\frac{{4}^{n}}{3}$+$\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$=$\frac{8}{3}$+$\frac{{4}^{n}}{3}$+$\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$，
则T_n=$\left\{\begin{array}{l}{10．}&{n=1}\\{\frac{8}{3}+\frac{{4}^{n}}{3}+\frac{{n}^{2}+n-2}{2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
故答案为：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{10．}&{n=1}\\{\frac{8}{3}+\frac{{4}^{n}}{3}+\frac{{n}^{2}+n-2}{2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$

点评 本题主要考查数列和的计算，根据n≥2时，a_n=S_n-S_n-1的关系求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式，利用分组求和法以及等比数列和等差数列的求和公式是解决本题的关键．