Question

【题目】已知函数（，是自然对数的底数），是函数的一个极值点．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）设，若，不等式恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】(1) 和．(2)

【解析】

（1）先对函数求导，得到，根据，得到，推出，解不等式，即可得出结果；

（2）先由不等式恒成立，得到恒成立，记，分别讨论和两种情况，根据导数的方法研究函数最值，得到，再令，根据导数方法求其最值即可.

（1）因为，所以，

∵是函数的一个极值点，∴，解得

则．

令，解得或，

故函数的单调递增区间为和．

（2）不等式，可化为，

记，，

当时，恒成立，则在上递增，没有最小值，故不成立；

当时，令，解得，当时，；

当时，，

当时，函数取得最小值，

即，则

令，，令，

则，当时，；当时，，

故当时，取得最大值，

所以，即的最大值为．