Question

【题目】设函数（），.

（1）求的极值；

（2）当时，函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）求出导函数，按和分类讨论可得；

（2）问题转化为不等式恒成立，对不等式讨论，由于，按和分类讨论，时，由于恒成立，不等式变形为，引入新函数，.求出导函数，.讨论的根的情况，按此分类得出函数的单调性，从而得出结论．

解：（1）∵，，∴，.

当时，∵，∴，所以在区间为单调递减，所以无极值；

当时，令，解得，当时，，当时，

所以在区间为递减，在区间为递增，所以当时取得极小值，无极大值.

（2）由题可知，不等式对恒成立.

当时，取代入上述不等式，此时，不符合题意；

当时，因为在上恒成立，

所以不等式等价于

令，.则，.

当，，所以在递减，所以，不符合题意；

当，即时，，所以在递增，所以，，符合题意；

当，即且时，取，当时，必有，所以在上递减，所以，，不符合题意.

综上：的取值范围是.