Question

【题目】设函数，.

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调性和极小值（其中为自然对数的底数）；

（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为；（2）.

【解析】

（1）由题意可得，可求得的值，利用导数可求得函数的单调区间和极小值；

（2）由的，构造函数，可知函数在区间上单调递减，可转化为对任意的恒成立，由参变量分离法得出对任意的恒成立，求出二次函数在上的最大值，进而可得出实数的取值范围.

（1），，

由于曲线在点处的切线与直线垂直，则，可得.

此时，，定义域为，，令，得.

列表如下：

		极小值

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

函数的极小值为；

（2）由的，

设，则，

由于，所以，函数在上单调递减，

，由题意可知对任意的恒成立，可得，

对于二次函数，

当时，函数取得最大值，.

因此，实数的取值范围是.