Question

【题目】如图，三棱柱中，底面为等边三角形，E，F分别为，的中点，，.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）通过计算可得，通过证明平面，可得，再根据直线与平面垂直的判定定理可得平面；

（2）先说明直线，，两两垂直，再以，，的方向为x，y，z轴的正方向，以点E为原点，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量可求得结果.

（1）证明：设，∵，

则，，，

∵点E为棱的中点，∴，

∴，∴.

∵三棱柱的侧面为平行四边形，

∴四边形为矩形，

∵点F为棱的中点，

∴，，

∴，∴.

∵三棱柱的底面是正三角形，E为的中点，

∴.

∵，且平面，平面，且，相交，

∴平面，∵平面，∴，∵，

∴平面.

（2）由（1）可知平面，∴，∴平面，

∴三棱柱是正三棱柱，

设的中点为M，则直线，，两两垂直，

分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，以点E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，，，，

则，，.

设平面的一个法向量为，则，则，则，

不妨取，则，则，所以，

设直线与平面所成角为，

则，

因为，所以

则直线与平面所成角的大小为.