Question

【题目】如图，在边长等于2正方形中，点Q是中点，点M,N分别在线段上移动（M不与A,B重合，N不与C,D重合），且，沿着将四边形折起，使得二面角为直二面角，则三棱锥体积的最大值为________；当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为________．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）先证明是三棱锥的高，设得到，再利用二次函数求最值得解；

（2）如图，把三棱锥补成一个直三棱柱,它们两个的外接球是同一个球.求出球的半径即得外接球的表面积.

（1）如图，

因为二面角为直二面角，平面平面,

所以平面,

所以是三棱锥的高.

设，

所以三棱锥体积，

所以当时，.

（2）如图，把三棱锥补成一个直三棱柱,它们两个的外接球是同一个球. 点为外接球的球心，为外接球的半径.

由题得,,

底面等腰直角三角形的外接圆的半径为斜边的一半，即.

所以.

所以外接球的表面积为.

故答案为：.