Question

已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|

OA

+2

OB

|=|

OA

-2

OB

|成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆的顶点为P，则a=2c，又由a-c=1，由PF₁=PF₂=2结合椭圆的定义可得2a，结合b²=a²-c²可求椭圆的方程；
（2）存在直线l，使得|

OA

+2

OB

|=|

OA

-2

OB

|成立．设直线l的方程为y=kx+m，由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8lmx+4m²-12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）设椭圆的顶点为P，
由两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，
可得a=2c，
又∵右焦点到右顶点的距离为1．
∴a-c=1，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3
椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1，
（2）解：存在直线l，使得|

OA

+2

OB

|=|

OA

-2

OB

|成立．理由如下：
设直线l的方程为y=kx+m，
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8lmx+4m²-12=0．
△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化简得3+4k²＞m²．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，x₁x₂=

4m2-12

3+4k2

．
若|

OA

+2

OB

|=|

OA

-2

OB

|成立，
即|

OA

+2

OB

|2=|

OA

-2

OB

|2，等价于

OA

•

OB

=0．
所以x₁x₂+y₁y₂=0．
x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
（1+k²）•

4m2-12

3+4k2

-km•

8km

3+4k2

+m²=0，
化简得7m²=12+12k²．即k²=

7

12

m²-1，
代入3+4k²＞m²中，3+4（

7

12

m²-1）＞m²，
解得m²＞

3

4

．
又由7m²=12+12k²≥12，得m²≥

12

7

，
从而m²≥

12

7

，
解得m≥

2 21

7

或m≤-

2 21

7

．
所以实数m的取值范围是（-∞，-

2 21

7

]∪[

2 21

7

，+∞）．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地加以运用．