Question

一袋子中装有质地均匀，大小相同且标号分别为3，4，5三个小球，从袋子中有放回地先后抽取两个小球的标号分别为a，b，记ξ=|a-4|+|a-b|．
（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并写出事件“ξ取最大值”的概率．
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）分析出，ξ取最大值为3，求解出P（ξ=3）=

1+1

C 1 3 C 1 3

=

2

9

即可，
（2）分类求解：当ξ=0时，当ξ=1时，当ξ=2时，当ξ=3时，分类求解．

解答： 解：（Ⅰ）a，b的可能取值为3，4，5．则|a-4|≤1，|a-b|≤2，
当

a=3 b=5

或

a=5 b=3

时，ξ取最大值为3，
故P（ξ=3）=

1+1

C 1 3 C 1 3

=

2

9

，
（Ⅱ）ξ 的可能取值为0，1，2，3．
当ξ=0时，即a=b=4，则P（ξ=0）=

1

9

；
当ξ=1时，a，b的解有

a=4 b=3

或

a=4 b=5

或

a=5 b=5

或

a=3 b=3

，
即P（ξ=1）=

4

9

；
当ξ=2时，
只有当

|a-4|=1 |a-b|=1

成立，所以

a=5 b=4

或

a=3 b=4

，
即p（ξ=2）=

2

9

；    
当ξ=3时，易知P（ξ=3）=

2

9

．

ξ	0	1	2	3
P	1 9	4 9	2 9	2 9

所以ξ的分布列为：
则 E_ξ×

1

9

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

2

9

=

14

9

．

点评：本题考查了离散型的概率分布，数学期望，属于中档题．