Question

2．已知集合A={x|2^x-6≤2^-2x≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}．
（Ⅰ）写出集合B的所有子集；
（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，解2^x-6≤2^-2x≤1可得集合A，又由B={x|x∈A∩N}，即可得集合B，进而由子集的定义可得集合B的子集；
（Ⅱ）根据题意，分析可得C是A的子集，进而有：$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{a+1≤2}\end{array}\right.$，解可得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）对于集合A，因为2^x-6≤2^-2x≤1，则x-6≤-2x≤0，
解可得：0≤x≤2．
即A={x|0≤x≤2}，
又由B={x|x∈A∩N}，则B={0，1，2}；
故B的子集有∅、{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}、{1，2}、{0，1，2}；
（Ⅱ）若A∩C=C，则C是A的子集，
则必有：$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{a+1≤2}\end{array}\right.$，
解可得：0≤a≤1，
即a的取值范围是：[0，1]．

点评 本题考查集合间包含关系的运用，关键是正确解出指数不等式，求出集合A．