Question

在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE=1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．
（1）证明：AE∥平面BCD；
（2）证明：平面BDE⊥平面CDE；
（3）求该几何体的体积．

Answer 1

考点：组合几何体的面积、体积问题,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取BC的中点M，连接DM、AM，由等腰三角形三线合一，可得DM⊥BC，进而由平面BCD⊥平面ABC，结合面面垂直的性质定理可得DM⊥平面ABC，再由AE⊥平面ABC，结合线面垂直的性质定理，可得AE∥DM，进而由线面平行的判定定理得到AE∥平面BCD；
（2）由（1）知AE∥DM，AE=DM，可由平行四边形的性质得DE∥AM，再由（1）得DM⊥AM，结合线面垂直的判定定理可得AM⊥平面BCD，即DE⊥平面BCD，进而DE⊥CD，再由BD⊥CD结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理得到平面BDE⊥平面CDE；
（3）先证出BC⊥平面AEDM，即BC为组合体高之和，求出平面AEDM的面积，代入棱锥体积公式可得答案．

解答： 证明：（1）取BC的中点M，连接DM、AM，由已知BD=CD，可得：DM⊥BC，
又因为平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，
所以DM⊥平面ABC，
因为AE⊥平面ABC，所以AE∥DM，
又因为AE?平面BCD，DM?平面BCD，
所以AE∥平面BCD．（4分）
（2）由（1）知AE∥DM，又AE=1，CM=1，
所以四边形DMAE是平行四边形，则有DE∥AM，
由（1）得DM⊥AM，又AM⊥BC，
∴AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD，
又CD?平面BCD，所以DE⊥CD，
由已知BD⊥CD，DE∩BD=D，
∴CD⊥平面BDE，
因为CD?平面CDE，
所以平面BDE⊥平面CDE．（10分）
（也可利用勾股定理等证明题中的垂直关系）
解：（3）∵BC⊥DM，BC⊥AM，DM∩AM=M，
∴BC⊥平面AEDM，（11分）
AM=

3

，DM=1，
易得四边形AEDM为矩形其面积S=

3

，（12分）
故该几何体的体积V=V_C-AEDM+V_B-AEDM=

1

3

×S×BC=

2 3

3

．（14分）

点评：本题考查的知识点是组合几何体的体积问题，直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，是空间线面关系的缩应用，难度中档．