Question

已知函数f（x）=x-

a

x

在定义域[1，20]上单调递增．
（1）求a的取值范围；
（2）若方程f（x）=10存在整数解，求满足条件a的个数．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出函数的单调区间，得不等式

-a

≤1，解出即可；
（2）问题转化为x²-10x+1≥0，解出x的范围，从而得出大于5+

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，不大于20的整数有11个．

解答： 解：（1）∵f′（x）=1+

a

x2

=

x2+a

x2

，
①a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在定义域递增，
②a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞

-a

或x＜-

-a

，
∴f（x）在（-∞，-

-a

）和（

-a

，+∞）递增，
又∵f（x）的定义域是[1，20]，
∴

-a

≤1，解得：a≥-1，
综上：a≥-1；
（2）∵f（x）=x-

a

x

=10，
∴a=x²-10x≥-1．即x²-10x+1≥0，
解得：x＜5-

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（舍），x＞5+

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，
∴大于5+

24

，不大于20的x的整数有11个，
11个整数x代入就有11个相对应的a的值，
故满足条件的a的个数是11个．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了转化思想，是一道中档题．