题目内容

20．从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图．
分组频数
[2，4）2
[4，6）10
[6，8）16
[8，10）8
[10，12]4
合计40
（1）求频率分布直方图中a，b的值；
（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；
（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率．

分析 （1）求出样本中家庭月均用水量在[4，6）上的频率为$\frac{10}{40}=0.25$，在[6，8）上的频率为$\frac{16}{40}=0.4$，即可求频率分布直方图中a，b的值；
（2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有28个，求出概率，即可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；
（3）利用列举法确定基本事件，再求出概率．

解答 解：（1）因为样本中家庭月均用水量在[4，6）上的频率为$\frac{10}{40}=0.25$，
在[6，8）上的频率为$\frac{16}{40}=0.4$，
所以$a=\frac{0.25}{2}=0.125$，$b=\frac{0.4}{2}=0.2$．
（2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有28个，
所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是$\frac{28}{40}=0.7$，
利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率约为0.7．
（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，
则在[6，8）上应抽取$7×\frac{16}{28}=4$人，记为A，B，C，D，
在[8，10）上应抽取$7×\frac{8}{28}=2$人，记为E，F，
在[10，12）上应抽取$7×\frac{4}{28}=1$人，记为G．
从中任意选取2个家庭的所有基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（A，G），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（B，G），（C，D），（C，E），（C，F），（C，G），（D，E），（D，F），（D，G），（E，F），（E，G），（F，G），共21种．
其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的事件有：（A，E），（A，F），（A，G），（B，E），（B，F），（B，G），（C，E），（C，F），（C，G），（D，E），（D，F），（D，G），共12种．
所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$．

点评 本题主要考查了频率分布直方图，用样本估计总体，考查概率的计算，解题的关键是读懂频数分布直方图和利用统计图获取有关信息，在解题时必须认真观察、分析、研究统计图．

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Y
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