Question

椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点P(1，

3

2

)，离心率e=

1

2

，A为椭圆C₁上一点，B为抛物线y²=

3

2

x上一点，且A为线段OB的中点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）求直线AB的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）据题意得：

1 a2 + 9 4b2 =1 c a = 1 2

又a²=b²+c²，解出a，b即可得到椭圆方程；
（2）设A点坐标为（x₀，y₀），则B点坐标为（2x₀，2y₀），分别代入椭圆和抛物线方程，解出A点坐标，即可得到AB方程．

解答： 解：（1）据题意得：

1 a2 + 9 4b2 =1 c a = 1 2

又a²=b²+c²，
解得

a2=4 b2=3

，
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设A点坐标为（x₀，y₀），则B点坐标为（2x₀，2y₀），
分别代入椭圆和抛物线方程得

x02 4 + y02 3 =1 (2y0)2= 3 2 (2x0)

，
消去y₀并整理得：3x02+

3

x0-12=0，
所以x0=

3

或x0=-

4 3

3

．
当x0=

3

时，y0=±

3

2

；
当x0=-

4 3

3

时，y₀无解．
所以直线AB的方程为y=±

1

2

x．

点评：本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查抛物线方程的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．