Question

已知直二面角α-PQ-β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA=CB，∠BAP=45°，直线CA和平面α所成角为30°，那么二面角B-AC-P的正切值为（　　）

• A、2
• B、3
• C、

  1

  2

• D、

  1

  3

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：综合题,空间角

分析：在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连接OB，证明BO⊥PQ．过点O作OH⊥AC于点H，连接BH，由三垂线定理知，BH⊥AC，故∠BHO是二面角B-AC-P的平面角，然后在Rt△BOH中解出此角即可．

解答： 解：在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连接OB．
因为α⊥β，α∩β=PQ，所以CO⊥α，
又因为CA=CB，所以OA=OB．
而∠BAO=45°，所以∠ABO=45°，∠AOB=90°．从而BO⊥PQ．
又α⊥β，α∩β=PQ，BO?α，所以BO⊥β．
过点O作OH⊥AC于点H，连接BH，由三垂线定理知，BH⊥AC．
故∠BHO是二面角B-AC-P的平面角．
因为CO⊥α，所以∠CAO是CA和平面α所成的角，则∠CAO=30°，
不妨设AC=2，则AO=

3

，OH=AOsin30°=

3

2

．
在Rt△OAB中，∠ABO=∠BAO=45°，所以BO=AO=

3

，
于是在Rt△BOH中，tan∠BHO=2．
故选：A．

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．