Question

已知f（x）的定义域为R，满足f（x）=-f（-x），且x＞0时，f（x）=2x-x²．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在正数m、n，当x∈[m，n]时，g（x）=f（x），且g（x）的值域为[

1

n

，

1

m

]．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设x＜0，则-x＞0，运用求解f（x）=-f（-x），且x＞0时，f（x）=2x-x²．（2）根据二次函数的性质，分类求解
．

解答： 解：（1）∵f（x）的定义域为R，满足f（x）=-f（-x），∴f（0）=0
∵x＞0时，f（x）=2x-x²．
∴设x＜0，则-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-[-2x-x²]=x²+2x，（x＜0）
∴f（x）=

2x-x2，x≥0 x2+2x，x＜0

，
（2）g（x）=2x-x²，x＞0
（Ⅱ）g（x）=f（x）=2x-x²=-（x-1）²+1≤1，
又m＞0，n＞0，
∴

1

m

≤1，m≥1，即1≤m＜n，f（x）为减函数，
于是

1

n

=g（n）=-n²+2n，即（n-1）（n²-n-1）=0，
∴

1

m

=g（m）=-m²+2m，即（m-1）（m²-m-1）=0，
∵1≤m＜n，
∴m=1，n=

1+ 5

2

点评：本题考查了二次函数的性质，分类讨论的思想，属于中档题．