题目内容
5．函数f（x）=ax2+（b-2a）x-2b为偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则f（x）＞0的解集为{x|-2＜x＜2}．分析 根据题意，由于函数f（x）=ax2+（b-2a）x-2b为偶函数，可得该二次函数的对称轴为y轴，分析可得b=2a，结合函数的单调性可得a＞0；综合可得f（x）＞0，即ax2-4a＞0，解可得x的取值范围，即可得答案、
解答 解：根据题意，函数f（x）=ax2+（b-2a）x-2b为二次函数，若其为偶函数，
则该二次函数的对称轴为y轴，必有$-\frac{b-2a}{2a}=0，a≠0$，即b=2a，
故f（x）=ax2-4a．
再根据函数在（0，+∞）单调递减，可得a＜0．
若f（x）＞0，即ax2-4a＞0，
解可得-2＜x＜2，
故解集为{x|-2＜x＜2}．
点评 本题考查二次函数的性质，涉及函数的奇偶性、单调性的应用，注意结合二次函数的性质进行分析．
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