Question

8．已知函数f（x）=x-$\frac{a}{x}$（a＞0）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行判断．
（2）根据函数的单调性定义，在给定的区间上取值，作差，判正负，下结论，即可证得．

解答 解：（1）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
则f（-x）=-x+$\frac{a}{x}$=-（x-$\frac{a}{x}$）=-f（x），则函数f（x）是奇函数，
（2）证明：设任意x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=x₁-$\frac{a}{{x}_{1}}$-（x₂-$\frac{a}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+$\frac{a（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1+$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$）
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，1+$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数$f（x）=x-\frac{2}{x}$在区间（0，+∞）上是增函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶的和单调性的定义是解决本题的关键．要求熟练掌握相应的定义．