Question

18．设a，b，c∈R+，且a+b+c=1，则$\frac{1}{{a}^{2}}$$+\frac{1}{{b}^{2}}$$+\frac{1}{{c}^{2}}$的最小值是27．

Answer 1

分析 运用三元均值不等式1≥3$\root{3}{abc}$，$\frac{1}{{a}^{2}}$$+\frac{1}{{b}^{2}}$$+\frac{1}{{c}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{1}{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}}$，即可得到最小值．

解答 解：∵a+b+c=1，a，b，c＞0，
∴1≥3$\root{3}{abc}$，
∴$\frac{1}{abc}$≥27，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$$+\frac{1}{{b}^{2}}$$+\frac{1}{{c}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{1}{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}}$≥27（当且仅当a=b=c时取等号），
故答案为：27．

点评 本题考查三元均值不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．