Question

20．如果a＞b，给出下列不等式：①$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$；②a³＞b³；③$\sqrt{{a}^{2}}$＞$\sqrt{{b}^{2}}$；④2ac²＞2bc²；⑤$\frac{a}{b}$＞1；⑥a²+b²+1＞ab+a+b．
其中一定成立的不等式的序号是②⑥．

Answer 1

分析 ①不一定成立，例如取a=2，b=-1；
②利用函数y=x³在R上单调递增，即可判断出正误；
③不一定成立，例如a=1，b=-2；
④不一定成立，例如取c=0时；
⑤不一定成立，例如取a=2，b=-1；
⑥a²+b²+1＞ab+a+b化为：（a-1）²+（b-1）²＞（a-1）（b-1），配方变为$[a-1-\frac{1}{2}（b-1）]^{2}$+$\frac{3}{4}（b-1）^{2}$＞0，进而判断出正误．

解答 解：①$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$，不一定成立，例如取a=2，b=-1；
②利用函数y=x³在R上单调递增，可知：a³＞b³，正确；
③$\sqrt{{a}^{2}}$＞$\sqrt{{b}^{2}}$，不一定成立，例如a=1，b=-2；
④2ac²＞2bc²，不一定成立，例如取c=0时；
⑤$\frac{a}{b}$＞1，不一定成立，例如取a=2，b=-1；
⑥a²+b²+1＞ab+a+b化为：（a-1）²+（b-1）²＞（a-1）（b-1），∴$[a-1-\frac{1}{2}（b-1）]^{2}$+$\frac{3}{4}（b-1）^{2}$＞0，∵b=1时，a＞1，∴左边恒大于0，成立．
其中一定成立的不等式的序号是②⑥．
故答案为：②⑥

点评 本题考查了不等式的性质、取特殊值法、配方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．