Question

椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

2

2

，且经过点P（1，

2

2

）．过坐标原点的直线l₁与l₂均不在坐标轴上，l₁与椭圆M交于A，C两点，l₂与椭圆M交于B，D两点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件列出方程组求出a²=2，b²=1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线AC：y=k₁x，直线BD：y=k₂x．联立方程组推导出|OA|=|OC|=

1+k12

•

2 2k12+1

．|OB|=|OD|=

1+k22

•

2 2k22+1

，进而求出菱形ABCD的面积S=2|OA|•|OB|，由此利用均值定理能求出菱形ABCD的面积最小值．

解答： 解：（1）∵椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

2

2

，
且经过点P（1，

2

2

），
∴

a= 2 2 c 1 a2 + 9 4 b2 =1

，又∵a²=b²+c²，∴a²=2，b²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）设直线AC：y=k₁x，直线BD：y=k₂x．
联立

x2 2 +y2=1 y=k1x

，得方程（2k 12+1）x²-2=0，
∴xA2=xc2=

2

2k12+1

，…（6分）
∴|OA|=|OC|=

1+k12

•

2 2k12+1

．
同理，|OB|=|OD|=

1+k22

•

2 2k22+1

．…（8分）
又∵AC⊥BD，∴|OB|=|OD|=

1+( 1 k1 )2

•

2 2( 1 k1 )2+1

，其中k₁≠0．
从而菱形ABCD的面积S为
S=2|OA|•|OB|=2

1+k12

•

2 2k12+1

•

1+( 1 k1 )2

•

2 2( 1 k1 )2+1

，
整理得S=4

1 2+ 1 (k1+ 1 k1 )2

≥

8

3

，其中k₁≠0．…（10分）
当且仅当

1

k1

=k1时取“=”，
∴当k₁=1或k₁=-1时，…（11分）
菱形ABCD的面积最小，该最小值为

8

3

．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查菱形面积最小值的求法，解题时要注意直线与椭圆位置关系的综合应用，注意均值定理的合理运用．