Question

已知圆x²+y²-2ax-6ay+10a²-4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线L：y=x+m．
（1）若a=2，求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；
（2）若m=2，求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；
（3）若直线L是圆心C下方的切线，当a变化时，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）a=2，求出圆的圆心与半径，利用直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值是直径，求出直径即可；
（2）通过m=2，利用半弦长、半径、弦心距满足的勾股定理，即可利用二次函数求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；
（3）直线L是圆心C下方的切线，利用半弦长、半径、弦心距满足的勾股定理，得到a与m的关系式，当a变化时，求实数m的取值范围．

解答： 解：圆C的方程可化为（x-a）²+（y-3a）²=4a…（1分）
∴圆心为C（a，3a），半径为r=2

a

…（2分）
（1）若a=2，则c（2，6），r=2

2

，
∵弦AB过圆心时最长，
∴|AB|_max=4

2

…（4分）
（2）若m=2，
则圆心C（a，3a）到直线x-y+2=0的距离
d=

|-2a+2|

2

=

2

|a-1|，r=2

a

…（5分）
直线与圆相交，
∴d＜r，∴a²-4a+1＜0且0＜a≤4，
∴a∈(2-

3

，2+

3

)…（6分）
又|AB|=2

r2-d2

=2

-2a2+8a-2

=2

-2(a-2)2+6

，…（7分）
∴当a=2时，|AB|max=2

6

…（8分）
（3）圆心C（a，3a）到直线x-y+m=0的距离d=

|-2a+m|

2

…（9分）
∵直线L是圆心C的切线，
∴d=r，

|m-2a|

2

=2

a

，|m-2a|=2

2a

∴m=2a±2

2a

…（11分）
∵直线L是圆心C下方，
∴m=2a-2

2a

=（O-1）²-1…（12分）
∵a∈（0，4]，
∴当a=y时，m_min=-1；  当a=4时，m_max=8-41，…（13分）
故实数m的取值范围是[-1，8-42]…（14分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，函数的最值，考查数形结合以及计算能力、转化思想的应用．