Question

函数f（x）=1-2a-2acosx-2sin²x的最小值为g（a）（a∈R）．
（1）当a=1时，求g（a）；  
（2）求g（a）；
（3）若g(a)=

1

2

，求a及此时f（x）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：综合题,三角函数的求值

分析：（1）当a=1时，可求得f（x）=2(cosx-

1

2

)2-

7

2

，从而知当cosx=

1

2

时，y_min=-

7

2

，于是可求得g（a）；  
（2）通过二次函数的配方可知f（x）=2(cosx-

a

2

)2-

a2

2

-2a-1（-1≤cosx≤1），通过对

a

2

范围的讨论，利用二次函数的单调性即可求得g（a）；
（3）由于g（a）=

1

2

≠1，只需对a分a＞2与-2≤a≤2讨论，即可求得a及此时f（x）的最大值．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=-2sin²x-2cosx-1
=-2（1-cos²x）-2cosx-1
=2cos²x-2cosx-3
=2(cosx-

1

2

)2-

7

2

，
∵-1≤cosx≤1．
∴当cosx=

1

2

时，y_min=-

7

2

，
即当a=1时，g（a）=-

7

2

；  
（2）由f（x）=1-2a-2acosx-2sin²x
=1-2a-2acosx-2（1-cos²x）
=2cos²x-2acosx-（2a+1）
=2(cosx-

a

2

)2-

a2

2

-2a-1，这里-1≤cosx≤1．
①若-1≤

a

2

≤1，则当cosx=

a

2

时，f（x）_min=-

a2

2

-2a-1；
②若 

a

2

＞1，则当cosx=1时，f（x）_min=1-4a；
③若 

a

2

＜-1，则当cosx=-1时，f（x）_min=1．
因此g（a）=

1，a＜-2 - a2 2 -a-1，-2≤a≤2 1-4a，a＞2

．
（2）∵g（a）=

1

2

．
∴①若a＞2，则有1-4a=

1

2

，得a=

1

8

，矛盾；
②若-2≤a≤2，则有-

a2

2

-2a-1=

1

2

，即a²+4a+3=0，
∴a=-1或a=-3（舍）．
∴g（a）=

1

2

时，a=-1．
此时f（x）=2（cosx+

1

2

^）2+

1

2

，
当cosx=1时，f（x）取得最大值为5．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查二次函数的配方法及单调性的应用，突出考查分类讨论思想与方程思想，考查综合应用能力，属于难题．