Question

利用已学知识证明：
（1）sinθ+sinφ=2sin

θ+φ

2

cos

θ-φ

2

；
（2）已知△ABC的外接圆的半径为2，内角A，B，C满足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+

1

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数恒等式的证明,三角函数的和差化积公式

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）由于θ=（

θ+φ

2

+

θ-φ

2

），φ=（

θ+φ

2

-

θ-φ

2

）即可证明；
（2）化简可得sinAsinBsinC=

1

8

，由已知△ABC的外接圆的半径为2，即可求△ABC的面积．

解答： 解：（1）sinθ+sinϕ=sin(

θ+ϕ

2

+

θ-ϕ

2

)+sin(

θ+ϕ

2

-

θ-ϕ

2

)=2sin

θ+ϕ

2

cos

θ-ϕ

2

…（4分）
（2）∵sin2A+sin(π-2B)=sin(2C-π)+

1

2

∴sin2A+sin2B+sin2C=

1

2

由（1）可得2sin

2A+2B

2

cos

2A-2B

2

+2sinCcosC=

1

2

2sinC[cos(A-B)-cos(A+B)]=4sinCsinAsinB=

1

2

∴sinAsinBsinC=

1

8

…（10分）
∵已知△ABC的外接圆的半径为2
∴S△ABC=2R2sinAsinBsinC=1…（12分）

点评：本题主要考察了三角函数的和差化积公式的应用，三角函数恒等式的证明，属于中档题．