Question

已知直线l₁为曲线y=x²+x-2在点（0，-2）处的切线，l₂为该曲线的另一条切线，且l₁⊥l₂
（Ⅰ）求直线l₂的方程；
（Ⅱ）求由直线l₁、l₂和x轴所围成的三角形的面积．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义以及直线垂直的关系即可求直线l₂的方程；
（Ⅱ）根据三角形的面积公式即可求由直线l₁、l₂和x轴所围成的三角形的面积．

解答： 解：（Ⅰ）函数的导数为f′（x）=2x+1，
则在点（0，-2）处的切线斜率k=f′（0）=1，
∴l₁：x-y-2=0，
∵l₁⊥l₂，
∴直线l₂的斜率k=-1；
由f′（x）=2x+1=-1，即2x=-2，
解得x=-1，此时y=-2，直线l₂的切点为（-1，-2），
则直线l₂的方程为y+2=-（x+1），即x+y+3=0．
（Ⅱ）∵l₁：x-y-2=0，l₂：x+y+3=0，
∴

x-y-2=0 x+y+3=0

，解得

x=- 1 2 y=- 5 2

，
即C（-

1

2

，-

5

2

），
又A（-3，0），B（2，0），
则由直线l₁、l₂和x轴所围成的三角形的面积S=

1

2

×5×

5

2

=

25

4

．

点评：本题主要考查函数切线的求解以及直线垂直的关系，利用导数的几何意义是解决本题的关键．