Question

4．已知函数f（x）=ax-$\frac{2}{x}$-3lnx，其中a为常数．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（$\frac{2}{3}$，f（$\frac{2}{3}$））处的切线与直线x+y-2=0垂直，求函数f（x）在区间[$\frac{3}{2}$，3]上的值域；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据切线方程求出a的值，从而求出f（x）的单调区间，从而求出函数的值域即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，问题转化为ax²-3x+2≤0在[1，+∞）上恒成立，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出a的具体范围即可．

解答 解：（Ⅰ）${f^'}（x）=a+\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x}$
由题意可知${f^'}（\frac{2}{3}）=1解得a=1$，∴$f（x）=x-\frac{2}{x}-3lnx（x∈[\frac{3}{2}，3]）$，∴${f^'}（x）=\frac{（x-1）（x-2）}{x^2}$
由f′（x）=0，得x=2．于是可得下表：

x	$\frac{3}{2}$	$（\frac{3}{2}，2）$	2	（2，3）	3
f′（x）		-	0	+
f（x）	$\frac{1}{6}-3ln\frac{3}{2}$	↘	1-3ln2	↗	$\frac{7}{3}-3ln3$

所以函数f（x）在区间$[\frac{3}{2}，3]$上的值域为[1-3ln2，$\frac{1}{6}-3ln\frac{3}{2}$]…（6分）
（Ⅱ）${f^'}（x）=a+\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x}=\frac{{a{x^2}-3x+2}}{x^2}$由题意得ax²-3x+2≤0在[1，+∞）上恒成立
 ①a=0时，-3x+2≤0，则$x≥\frac{2}{3}$显然成立；
②a＜0时，由a•1²-3×1+2≤0得a≤1，所以此时a＜0；
③a＞0时，显然不成立．
综上得实数a的取值范围是（-∞，0]．…（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．