Question

19．关于函数f（x）=$\frac{b}{|x|-a}$（a＞0，b＞0），有下列命题：
（1）函数f（x）的值域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）直线x=k与函数f（x）的图象有唯一交点；
（3）函数y=f（x）+1有两个零点；
（4）函数定义域为D，则对于任意x∈D，f（-x）=f（x）
其中所有叙述正确的命题序号是（4）．

Answer 1

分析 分析函数的图象和性质，进而分析各个命题的真假，可得答案．

解答 解：令y=f（x）=$\frac{b}{|x|-a}$，则y|x|-ay=b，
|x|=$\frac{ay+b}{y}$≥0（a＞0，b＞0），
解得：y∈（-∞，$-\frac{b}{a}$]∪（0，+∞），
故函数f（x）的值域为（-∞，$-\frac{b}{a}$]∪（0，+∞），故（1）错；
直线x=k=±a与函数f（x）的图象没有交点，故（2）错；
函数y=f（x）+1的值域为（-∞，1$-\frac{b}{a}$]∪（1，+∞），
当a＞b时，有两个零点；
当a=b时，有一个零点；
当a＜b时，没有零点；
故（3）错误；
函数定义域为D，则对于任意x∈D，f（-x）=f（x）
故（4）正确；
故答案为：（4）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的值域，函数的零点，函数的奇偶性等知识点，难度中档．