Question

3．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b²+c²-a²=bc，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＞0，a=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则b+c的取值范围是（　　）

• A． $（1，\frac{3}{2}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}）$
• C． $（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$
• D． $（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$

Answer 1

分析 根据b²+c²-a²=bc，代入到余弦定理中求得cosA的值，进而求得A，再确定b=2RsinB=sinB，c=2RsinC=sinC，结合B的范围，代入利用辅助角公式，即可得出结论．

解答 解：∵b²+c²-a²=bc，a=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
因为C是三角形内角，∴A=60°，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=AB•BC•cos（π-B）=-AB•BC•cosB＞0，∴cosB＜0，∴B为钝角，B是钝角．
由正弦定理可得b=$\frac{a}{sinA}$•sinB=sinB，同理c=sinC．
三角形ABC中，A=$\frac{π}{3}$，∴C+B=$\frac{2π}{3}$．
b+c=sinB+sinC=sinB+sin（ $\frac{2π}{3}$-B）=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{2}$＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{2π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴b+c的取值范围为：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查了余弦定理的应用，考查三角函数的性质，考查计算能力，注意余弦定理的变形式的应用是关键，属于中档题．