题目内容
4．极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），斜率为$\sqrt{3}$的直线l交y轴于点E（0，1）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程，直线l的参数方程；
（Ⅱ）直线l与曲线C交于A，B两点，求|EA|•|EB|的值．
分析 （I）将ρ=2（cosθ+sinθ）两边同时乘以ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出直角坐标方程；直线l的倾斜角为60°，设直线l上任意一点到E的距离为t，则x=tcos60°，y=tsin60°+1．得出参数方程．
（2）将参数方程代入曲线方程求出A，B两点对应的参数，即可得出答案．
解答 解：（I）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x-1）2+（y-1）2=2．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R）．
（II）将$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\end{array}\right.$代入曲线C方程得（$\frac{1}{2}t-1$）2+（$\frac{\sqrt{3}}{2}t$）2=2，
即t2-t-1=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2=-1．
|EA|=|t1|，|EB|=|t2|，
∴|EA|•|EB|=|t1t2|=1．
点评 本题考查了极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．
练习册系列答案
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| A． | 充分而不必要条件 | B． | 必要而不充分条件 | ||
| C． | 充分必要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
12．向顶角为120°的等腰三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为（ ）
| A． | $\frac{{\sqrt{3}π}}{3}$ | B． | $\frac{{\sqrt{3}π}}{9}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{π}{3}$ |
16．给出下面四个命题（其中m，n，l为空间中不同的三条直线，α，β为空间中不同的两个平面）：
①m∥n，n∥α⇒m∥α
②α⊥β，α∩β=m，l⊥m⇒l⊥β；
③l⊥m，l⊥n，m?α，n?α⇒l⊥α
④m∩n=A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β．
其中错误的命题个数为（ ）
①m∥n，n∥α⇒m∥α
②α⊥β，α∩β=m，l⊥m⇒l⊥β；
③l⊥m，l⊥n，m?α，n?α⇒l⊥α
④m∩n=A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β．
其中错误的命题个数为（ ）
| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
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| A． | $\frac{12π}{25}$ | B． | $\frac{17π}{25}$ | C． | 3π | D． | $\frac{16π}{5}$ |