Question

16．已知函数f（x）=$\frac{lo{g}_{2}x-1}{2lo{g}_{2}x+1}$（x＞2），已知f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{2}$，则f（x₁x₂）的最小值=$\frac{4}{11}$．

Answer 1

分析 设x₁=a，x₂=b，a，b均大于2，由已知推导出$\frac{3}{lo{g}_{2}2{a}^{2}}+\frac{3}{lo{g}_{2}2{b}^{2}}$=1，由均值宣得到ab≥32，由此能求出f（x₁x₂）的最小值．

解答 解：设x₁=a，x₂=b，a，b均大于2，
∵函数f（x）=$\frac{lo{g}_{2}x-1}{2lo{g}_{2}x+1}$（x＞2），f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{2}$，
f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}•\frac{3}{2lo{g}_{2}x+1}$，
∴f（a）+f（b）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{3}{2lo{g}_{2}a+1}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{3}{2lo{g}_{2}b+1}$=1-$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{lo{g}_{2}2{b}^{2}}+\frac{3}{lo{g}_{2}2{a}^{2}}$）=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{3}{lo{g}_{2}2{a}^{2}}+\frac{3}{lo{g}_{2}2{b}^{2}}$=1，
∵（$lo{g}_{2}2{a}^{2}+lo{g}_{2}2{b}^{2}$）（$\frac{3}{lo{g}_{2}2{a}^{2}}+\frac{3}{lo{g}_{2}2{b}^{2}}$）=3+$\frac{3lo{g}_{2}2{b}^{2}}{lo{g}_{2}2{a}^{2}}$+$\frac{3lo{g}_{2}2{a}^{2}}{lo{g}_{2}2{b}^{2}}$+3≥12，
∴$lo{g}_{2}2{a}^{2}+lo{g}_{2}2{b}^{2}$=$lo{g}_{2}（4{a}^{2}{b}^{2}）$≥12，解得ab≥32，
∴f（ab）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{3}{2lo{g}_{2}（ab）+1}$≥$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{3}{2×5+1}$=$\frac{1}{2}（1-\frac{3}{11}）$=$\frac{4}{11}$．
∴f（x₁x₂）的最小值=$\frac{4}{11}$．
故答案为：$\frac{4}{11}$．

点评 本题考查函数值的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数性质和均值定理的合理运用．