Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=$\sqrt{7}$，PA=$\sqrt{3}$，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．
（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC
（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正弦值；
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求二面角G-BD-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AC∩BD=O，由△ABD≌△CBD，△ABO≌△CBO，得BD⊥AC，由线面垂直得PA⊥BD，由此能证明BD⊥面PAC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，则∠DGO为直线DG与平面PAC所成的角，求解三角形可得DG与APC所成的角的正弦值；
（Ⅲ）由BD⊥平面PAC，可得OG⊥BD，OA⊥BD，得∠AOG为二面角G-BD-A的平面角，然后利用三角形相似求解．

解答 （Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，∵AB=BC，AD=CD，
∴△ABD≌△CBD，得∠ABD=∠CBD，则△ABO≌△CBO，
∴∠AOB=∠COB=90°，故BD⊥AC，
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，
故∠DGO为直线DG与平面PAC所成的角，
在Rt△ABC中，由AB=2，∠ABO=60°，得AO=$\sqrt{3}$，
在Rt△ADO中，由AD=$\sqrt{7}$，AO=$\sqrt{3}$，得DO=2，
又GO=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DG=$\sqrt{O{D}^{2}+O{G}^{2}}=\frac{\sqrt{19}}{2}$，则sin∠DGO=$\frac{OD}{DG}=\frac{2}{\frac{\sqrt{19}}{2}}=\frac{4\sqrt{19}}{19}$．
∴DG与平面APC所成的角的正弦值为$\frac{4\sqrt{19}}{19}$；
（Ⅲ）解：由BD⊥平面PAC，可得OG⊥BD，OA⊥BD，
∴∠AOG为二面角G-BD-A的平面角，
∵PC⊥面BGD，∴PG⊥GO，则Rt△PAC∽Rt△OGC，
∴cos∠COG=cos∠CPA=$\frac{PA}{PC}$，
∵PA=$\sqrt{3}$，AC=2AO=$2\sqrt{3}$，
∴PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{15}$，
则cos∠COG=cos∠CPA=$\frac{PA}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
则cos∠AOG=-cos∠COG=$-\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故二面角G-BD-A的余弦值为-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查线面角及面面角的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．