题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，点M在线段PC上，MC=2PM．（Ⅰ）求证：PA∥平面MQB；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小．
考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定
专题：空间角
分析：（I）连接AC交BQ于点N，连接MN，由已知条件推导出MN∥PA，由此能证明PA∥平面MQB．
（II）以Q为坐标原点，分别一QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C大小．
（II）以Q为坐标原点，分别一QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C大小．
解答：
（I）证明：连接AC交BQ于点N，连接MN，
∵AQ∥BC，∴
=
=0.5，
∵2PM=MC，∴
=0.5，
∴
=
，∴在△PAC中，MN∥PA，
∵MN?平面MQB，PA不包含于平面MQB，
∴PA∥平面MQB…（5分）
（II）解：∵PQ⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
以Q为坐标原点，分别一QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Q-xyz．
∵PA=PD=2，∴A（1，0，0），B(0，
，0)，P(0，0，
)．
设平面MQB的方向量为
=(x，y，z)，
由
=(1，0，-
)
=(0，
，0)，
且
⊥
，
⊥
，得：
，
令z=1，得x=
，y=0
∴
=(
，0，1)为平面MQB的一个方向量．
取平面ABCD的方向量为
=(0，0，1)
则cos?
＞=
=
，
故二面角M-BQ-C大小为60°．…（12分）
∵AQ∥BC，∴
| AN |
| NC |
| AQ |
| BC |
∵2PM=MC，∴
| PM |
| MC |
∴
| PM |
| MC |
| AN |
| AC |
∵MN?平面MQB，PA不包含于平面MQB，
∴PA∥平面MQB…（5分）
（II）解：∵PQ⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
以Q为坐标原点，分别一QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Q-xyz．
∵PA=PD=2，∴A（1，0，0），B(0，
| 3 |
| 3 |
设平面MQB的方向量为| n |
由
| PA |
| 3 |
. |
| QB |
| 3 |
且
| n |
| PA |
| n |
| QB |
|
令z=1，得x=
| 3 |
∴
| n |
| 3 |
取平面ABCD的方向量为
| m |
则cos?
| m， |
| n |
| ||||
|
|
| 1 |
| 2 |
故二面角M-BQ-C大小为60°．…（12分）
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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