Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

，AB=1，M是PB的中点．
（1）证明：面PAD⊥面PCD；
（2）求AC与PB所成的角的余弦值；
（3）求二面角M-AC-B的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为坐标原点，AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面PAD⊥面PCD．
（2）求出

AC

=(

1

2

，

1

2

，0)，

PB

=(0，1，-

1

2

)，利用向量法能求出AC与PC所成角的余弦值．
（3）分别求出平面ACB和平面MAC的法向量，利用向量法能求出二面角M-AC-B的正弦值．

解答： （1）证明：以A为坐标原点，AD长为单位长度，
建立如图所示空间直角坐标系，
则由题意知A（0，0，0），B（0，1，0），C（

1

2

，

1

2

，0），
D（

1

2

，0，0），P（0，0，

1

2

），M（0，

1

2

，

1

4

）
∴

AP

=(0，0，

1

2

)，

DC

=(0，

1

2

，0)，
∴

AP

•

DC

=0，∴AP⊥DC，
由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，
∴DC⊥面PAD．又DC?PCD内，
面PAD⊥面PCD．
（2）解：∵

AC

=(

1

2

，

1

2

，0)，

PB

=(0，1，-

1

2

)，
∴|

AC

|=

2

2

，|

PB

|=

5

2

，

AC

•

PB

=

1

2

，
∴cos＜

AC

，

PB

＞=

10

5

，
∴AC与PC所成角的余弦值为

10

5

．
（3）解：平面ACB的一个法向量

AP

=(0，0，

1

2

)，
设平面MAC的一个法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • AM =0 n • AC =0

，即

1 2 y+ 1 4 z=0 1 2 x+ 1 2 y=0

，
不妨取

n

=(1，-1，2)，
设二面角M-AC-B的平面角为则θ，
则cosθ=cos＜

AP

，

n

＞=

1 2 ×2

1 2 1+1+4

=

6

3

，
∴sinθ=

1-cos2θ

=

3

3

．
∴二面角M-AC-B的正弦值为

3

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．