Question

1．2016年12月1日，汉孝城际铁路正式通车运营．除始发站（汉口站）与终到站（孝感东站）外，目前沿途设有7个停靠站，其中，武汉市辖区内有4站（后湖站、金银潭站、天河机场站、天河街站），孝感市辖区内有3站（闵集站、毛陈站、槐荫站）．为了了解该线路运营状况，交通管理部门计划从这7个车站中任选3站调研．
（1）求孝感市辖区内至少选中1个车站的概率；
（2）若孝感市辖区内共选中了X个车站，求随机变量X的分布列与期望．

Answer 1

分析 （1）记A=“选取的3个车站均不在孝感市辖区内”，则事件“孝感市辖区内至少选中1个车站”可表示为$\bar A$．由古典概型概率计算公式，有：$P（A）=\frac{C_4^3}{C_7^3}=\frac{4}{35}$，再利用$P（\overline{A}）$=1-P（A）即可得出．
（2）X的所有可能取值为：0、1、2、3，利用超几何分布即可得出．

解答 解：（1）记A=“选取的3个车站均不在孝感市辖区内”，则事件“孝感市辖区内至少选中1个车站”可表示为$\overline{A}$．由古典概型概率计算公式，有：$P（A）=\frac{C_4^3}{C_7^3}=\frac{4}{35}$，
∴$P（\overline{A}）$=1-P（A）=1-$\frac{4}{35}$=$\frac{31}{35}$，即孝感市辖区内至少选中1个车站的概率为$\frac{31}{35}$．…（5分）
（2）X的所有可能取值为：0、1、2、3，且：$P（X=0）=\frac{4}{35}$，$P（X=1）=\frac{C_4^2C_3^1}{C_7^3}=\frac{18}{35}$，$P（X=2）=\frac{C_4^1C_3^2}{C_7^3}=\frac{12}{35}$，$P（X=3）=\frac{C_3^3}{C_7^3}=\frac{1}{35}$…（9分）
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

…（10分）
∴$E（X）=0×\frac{4}{35}+1×\frac{18}{35}+2×\frac{12}{35}+3×\frac{1}{35}=\frac{45}{35}=\frac{9}{7}$…（12分）

点评 本题考查了古典概率计算公式、互为对立概率计算公式、超几何分布列概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．