Question

9．已知数列{a_n}，{b_n}满足b_n=a_n+1-a_n（n=1，2，3，…）．
（1）若b_n=10-n，求a₁₆-a₅的值；
（2）若${b_n}={（-1）^n}（{2^n}+{2^{33-n}}）$且a₁=1，则数列{a_2n+1}中第几项最小？请说明理由；
（3）若c_n=a_n+2a_n+1（n=1，2，3，…），求证：“数列{a_n}为等差数列”的充分必要条件是“数列{c_n}为等差数列且b_n≤b_n+1（n=1，2，3，…）”．

Answer 1

分析 （1）判断{b_n}是等差数列．然后化简a₁₆-a₅=（a₁₆-a₁₅）+（a₁₅-a₁₄）+（a₁₄-a₁₃）+…+（a₆-a₅）利用等差数列的性质求和即可．
（2）利用a_2n+3-a_2n+1=2²ⁿ⁺¹-2^31-2n，判断a_2n+3＜a_2n+1，求出n＜7.5，a_2n+3＞a_2n+1求出n＞7.5，带带数列{a_2n+1}中a₁₇最小，即第8项最小．．
法二：化简${b_n}={（-1）^n}（{2^n}+{2^{33-n}}）={（-2）^n}+{2^{33}}{（-\frac{1}{2}）^n}$，求出a_2n+1=a₁+b₁+b₂+b₃+…+b_2n=$\frac{1}{3}[1-{2^{33}}+（{2^{2n+1}}+{2^{33-2n}}）]$，利用基本不等式求出最小值得到数列{a_2n+1}中的第8项最小．
（3）若数列{a_n}为等差数列，设其公差为d，说明数列{c_n}为等差数列． 由b_n=a_n+1-a_n=d（n=1，2，3，…），推出b_n≤b_n+1，若数列{c_n}为等差数列且b_n≤b_n+1（n=1，2，3，…），设{c_n}的公差为D，转化推出b_n+1=b_n（n=1，2，3，…），说明数列{a_n}为等差数列．得到结果．

解答 解：（1）由b_n=10-n，可得b_n+1-b_n=（9-n）-（10-n）=-1，故{b_n}是等差数列．
所以a₁₆-a₅=（a₁₆-a₁₅）+（a₁₅-a₁₄）+（a₁₄-a₁₃）+…+（a₆-a₅）=${b_{15}}+{b_{14}}+{b_{13}}+…+{b_5}=\frac{{11（{b_{15}}+{b_5}）}}{2}=11{b_{10}}=0$…（4分）
（2）a_2n+3-a_2n+1=（a_2n+3-a_2n+2）+（a_2n+2-a_2n+1）=b_2n+2+b_2n+1=（2²ⁿ⁺²+2^31-2n）-（2²ⁿ⁺¹+2^32-2n）=2²ⁿ⁺¹-2^31-2n…（6分）
由a_2n+3＜a_2n+1?2²ⁿ⁺¹-2^31-2n＜0?n＜7.5，a_2n+3＞a_2n+1?2²ⁿ⁺¹-2^31-2n＞0?n＞7.5，…（8分）
故有a₃＞a₅＞a₇＞…＞a₁₅＞a₁₇＜a₁₉＜a₂₀＜…，
所以数列{a_2n+1}中a₁₇最小，即第8项最小．　　　　 　 …（10分）
法二：由${b_n}={（-1）^n}（{2^n}+{2^{33-n}}）={（-2）^n}+{2^{33}}{（-\frac{1}{2}）^n}$，…（5分）
可知a_2n+1=a₁+b₁+b₂+b₃+…+b_2n=$1+[（-2）\frac{{1-{{（-2）}^{2n}}}}{3}+（-{2^{32}}）\frac{{1-{{（-\frac{1}{2}）}^{2n}}}}{{1+\frac{1}{2}}}]$=$\frac{1}{3}[1-{2^{33}}+（{2^{2n+1}}+{2^{33-2n}}）]$…（8分）$≥\frac{1}{3}[1-{2^{33}}+2\sqrt{{2^{34}}}]$（当且仅当2²ⁿ⁺¹=2^33-2n，即n=8时取等号）
所以数列{a_2n+1}中的第8项最小．                     …（10分）
（3）若数列{a_n}为等差数列，设其公差为d，
则c_n+1-c_n=（a_n+1-a_n）+2（a_n+2-a_n+1）=d+2d=3d为常数，
所以数列{c_n}为等差数列．                           …（12分）
由b_n=a_n+1-a_n=d（n=1，2，3，…），可知b_n≤b_n+1（n=1，2，3，…）． …（13分）
若数列{c_n}为等差数列且b_n≤b_n+1（n=1，2，3，…），设{c_n}的公差为D，
则c_n+1-c_n=（a_n+1-a_n）+2（a_n+2-a_n+1）=b_n+2b_n+1=D（n=1，2，3，…），…（15分）
又b_n+1+2b_n+2=D，故（b_n+1-b_n）+2（b_n+2-b_n+1）=D-D=0，
又b_n+1-b_n≥0，b_n+2-b_n+1≥0，故b_n+1-b_n=b_n+2-b_n+1=0（n=1，2，3，…），…（17分）
所以b_n+1=b_n（n=1，2，3，…），故有b_n=b₁，所以a_n+1-a_n=b₁为常数．
故数列{a_n}为等差数列．
综上可得，“数列{a_n}为等差数列”的充分必要条件是“数列{c_n}为等差数列且b_n≤b_n+1（n=1，2，3，…）”．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 …（18分）

点评 本题考查数列的综合应用，等差数列的性质等比数列的判断，数列求和，转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．