Question

已知函数f（x）=x²-x-m在区间（-1，1）内有零点．
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据函数零点和方程之间的关系转化为一元二次函数即可求实数m的取值集合M；
（2）根据必要条件的定义转化为一元二次函数根的分布，即可得到结论．

解答： 解：（1）若函数f（x）=x²-x-m在区间（-1，1）内有零点，
则方程函数m=x²-x在区间（-1，1）内有根，
设g（x）=x²-x，则g（x）=（x-

1

2

）²-

1

4

，
∵-1＜x＜1，∴-

1

4

≤g（x）＜2，
则-

1

4

≤m＜2，即M=[-

1

4

，2）．
（2）∵x∈N是x∈M的必要条件，
∴M⊆N，
设m（x）=（x-a）（x+a-2），
∵M=[-

1

4

，2）．
∴

m(- 1 4 )=(- 1 4 -a)(- 1 4 +a-2)＜0 m(2)=(2-a)(2+a-2)≤0

，
即

(a+ 1 4 )(a- 9 4 )＞0 a(a-2)≥0

，
则

a＞ 9 4 或a＜- 1 4 a≥2或a≤0

，
解得a＞

9

4

或a＜-

1

4

．

点评：本题主要考查不等式的求解以及充分条件和必要条件的应用，构造函数结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．