Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ⁺¹．
（1）求通项公式a_n；
（2）若b_n=

1

2

n•a_n，求数列{b_n•a_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a₁=S₁=3²=9，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ⁺¹-3ⁿ=2•3ⁿ．由此能求出a_n=

9，n=1 2•3n，n≥2

．
（2）b_n=

1

2

n•a_n=

9 2 ，n=1 n•3n，n≥2

，由此能求出数列{b_n•a_n}的前n项和．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ⁺¹，
∴a₁=S₁=3²=9，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ⁺¹-3ⁿ=2•3ⁿ．
当n=1时，2•3ⁿ=6≠a₁，
∴a_n=

9，n=1 2•3n，n≥2

．
（2）b_n=

1

2

n•a_n=

9 2 ，n=1 n•3n，n≥2

，
∴b_n•a_n=

81 2 ，n=1 2n•9n，n≥2

，
设数列{b_n•a_n}的前n项和为S_n，
n=1时，Sn=

81

2

；
n≥2时，S_n=

81

2

+4•92+6•93+…+2n•9n，①
9S_n=

729

2

+4•93+6•94+…+2n•9n+1．②
①-②，得-8S_n=-

648

2

+182+2（9²+9³+…+ⁿ）-2n•9ⁿ⁺¹
=-142+2×

81(1-9n-1)

1-9

-2n•9ⁿ⁺¹
=-142+

9n-1

4

-

81

4

-2n•9ⁿ⁺¹．
∴S_n=

71

4

+

81

32

-

9n-1

32

+

2n•9n+1

8

=

n•9n+1

4

-

9n-1

32

+

649

32

．
∴Sn=

81 2 ，n=1 n•9n+1 4 - 9n-1 32 + 649 32 ，n≥2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．