Question

16．已知抛物线y²=8x的准线过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点，且双曲线的两条渐近线方程为y=±2x，则双曲线离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出抛物线的准线方程，利用准线和双曲线左顶点的关系求出a，结合双曲线的渐近线求出，b，c即可求双曲线的离心率．

解答 解：抛物线的准线方程为x=-2，
∵抛物线y²=8x的准线过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点（-a，0），
∴-a=-2，则a=2，
∵双曲线的两条渐近线方程为y=±2x=±$\frac{b}{a}$x=±$\frac{b}{2}$x，
∴$\frac{b}{2}$=2，则b=4，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
则双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{2}$=$\sqrt{5}$，
故选：D．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件建立方程求a，b，c的值是解决本题的关键．