Question

8．在一个口袋中装有3个白球，4个黑球，3个红球，一次从中摸出3个球．
（1）求摸出的3个球颜色不全相同的概率；
（2）规定摸出1个白球、1个黑球、1个红球分别得1分、2分、3分，设X为摸出3个球的得分之和，求随机变量X≥6的概率分布及数学期望E（X≥6）．

Answer 1

分析 （1）记“摸出的3个球颜色不全相同”为事件的A，利用对立事件概率计算公式能求出摸出的3个球颜色不全相同的概率．
（2）随机变量X≥6的可能取值为6，7，8，9，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X≥6的概率分布及数学期望E（X≥6）．

解答 解：（1）记“摸出的3个球颜色不全相同”为事件的A，
则其概率为$P（A）=1-\frac{C_3^3+C_4^3+C_3^3}{{C_{10}^3}}=\frac{19}{20}$．  …（4分）
∴摸出的3个球颜色不全相同的概率为$\frac{19}{20}$．…（5分）
（2）随机变量X≥6的可能取值为6，7，8，9，
$P（X=6）=\frac{C_4^3+C_3^1C_4^1C_3^1}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{3}$，
$P（X=7）=\frac{C_3^1C_3^2+C_4^2C_3^1}{{C_{10}^3}}=\frac{9}{40}$，
$P（X=8）=\frac{C_4^1C_3^2}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{10}$，
$P（X=9）=\frac{C_3^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{120}$． …（12分）
∴随机变量X的分布列为

X	6	7	8	9
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{9}{40}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{120}$

∴$E（X≥6）=6×\frac{1}{3}+7×\frac{9}{40}+8×\frac{1}{10}+9×\frac{1}{120}=\frac{89}{20}$    …（14分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的性质及分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．