Question

函数f（x）=

log2x                 x≥1 -x2+4ax-2a    x＜1

，则“a=

1

2

”是“函数f（x）在R上递增”的（　　）

• A、充分而不必要条件
• B、必要而不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：当x≥1时，f（x）=log₂x≥0，且单调递增；当x＜1时，f（x）=-x²+4ax-2a=-（x-2a）²+4a²-2a．要使此时f（x）单调递增且f（x）＜0，则2a≥1，f（1）=2a-1≤0，解出a即可判断出．

解答： 解：当x≥1时，f（x）=log₂x≥0，且单调递增；
当x＜1时，f（x）=-x²+4ax-2a=-（x-2a）²+4a²-2a．要使此时f（x）单调递增且f（x）＜0，则2a≥1，f（1）=2a-1≤0，解得a=

1

2

．
因此“a=

1

2

”是“函数f（x）在R上递增”的充要条件．
故选：C．

点评：本题考查了对数函数、二次函数的单调性、充要条件的判定，考查了推理能力和计算能力，属于难题．