Question

8．如图，在△OAB中，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$，AD与BC交于点M，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{OM}$；
（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设$\overrightarrow{OE}$=p$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OF}$=q$\overrightarrow{OB}$，求证：$\frac{1}{7p}$+$\frac{3}{7q}$=1．

Answer 1

分析 （1）设设$\overrightarrow{OM}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，根据三点共线原理和平面向量的基本定理，列方程求出x，y即可得出答案；
（2）由$\overrightarrow{OE}$=p$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OF}$=q$\overrightarrow{OB}$可得：$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{p}$$\overrightarrow{OE}$，$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{q}$$\overrightarrow{OF}$，结合（1）中$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{b}$，即可得出结论．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{OM}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，
由$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OA}$得：$\overrightarrow{OM}$=4x$\overrightarrow{OC}$+y$\overrightarrow{b}$，
∵C，M，B三点共线，
∴4x+y=1，
由$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$，得：$\overrightarrow{OM}$=x$\overrightarrow{a}$+2y$\overrightarrow{OD}$，
∵A，M，D三点共线，
∴x+2y=1，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{7}\\ y=\frac{3}{7}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{b}$．
证明（2）∵$\overrightarrow{OE}$=p$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OF}$=q$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{p}$$\overrightarrow{OE}$，$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{q}$$\overrightarrow{OF}$，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{7}$$\frac{1}{p}$$\overrightarrow{OE}$+$\frac{3}{7}$$\frac{1}{q}$$\overrightarrow{OF}$．
∵E，M，F三点共线，
∴$\frac{1}{7p}$+$\frac{3}{7q}$=1．

点评 本题考查了平面向量的基本道理，向量共线定理，属于中档题．