Question

16．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点A₁在平面ABC内的射影O为AC的中点，A₁O=2，AB⊥BC，AB=BC=$\sqrt{2}$点P在线段A₁B上，且cos∠PAO=$\frac{2}{3}$，则直线AP与平面A₁AC所成角的正弦值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 取AA₁的中点H，连结PO，PH，AN．则PH⊥面AA₁C，△APO为直角三角形，且cos∠PAO=$\frac{2}{3}$，得AP
∠PAH为直线AP与平面A₁AC所成角，sin∠PAH=$\frac{PH}{PA}=\frac{\frac{1}{2}OB}{PA}=\frac{1}{3}$．

解答 解：∵AB⊥BC，AB=BC=$\sqrt{2}$，∴AC=2，AO=1．
∵点A₁在平面ABC内的射影O为AC的中点，A₁O=2，AB⊥BC，
∴AO，BO，A₁O互相垂直，即面ABC，面AA₁C，面A₁OB互相垂直，
取AA₁的中点H，连结PO，PH，AN．则PH⊥面AA₁C
△APO为直角三角形，且cos∠PAO=$\frac{2}{3}$，∴AP=$\frac{3}{2}$，
∠PAH为直线AP与平面A₁AC所成角，sin∠PAH=$\frac{PH}{PA}=\frac{\frac{1}{2}OB}{PA}=\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$

点评 本题考查了空间角的求解，属于中档题．