Question

14．已知直线l经过直线2x+y+5=0与x-2y=0的交点，圆C₁：x²+y²-2x-2y-4=0与圆C₂：x²+y²+6x+2y-6=0相较于A、B两点．
（1）若点P（5，0）到直线l的距离为4，求l的直线方程；
（2）若直线l与直线AB垂直，求直线l方程．

Answer 1

分析 （1）设出直线的交点系方程，代入点到直线距离公式，求出λ值，可得l的直线方程；
（2）直线l与直线AB垂直，即直线l与C₁C₂平行，由此求出λ值，可得l的直线方程；

解答 （本小题满分12分）
解：（1）设直线l的方程为：2x+y-5+λ（x-2y）=0    即：（2+λ）x+（1-2λ）y-5=0
由题意：$\frac{|5（2+λ）-5|}{\sqrt{{（2+λ）}^{2}+{（1-2λ）}^{2}}}$=3
整理得：2λ²-5λ+2=0
（2λ-1）（ λ-2）=0
∴λ=$\frac{1}{2}$或λ=2
∴直线l的方程为：2x+y-5+$\frac{1}{2}$（x-2y）=0或2x+y-5+2（x-2y）=0
即：x=2或4x-3y-5=0…（6分）
（2）圆C₁：x²+y²-2x-4y-4=0，即（x-1）²+（y-2）²=9，
故圆心坐标为：C₁（1，2）
圆C₂：x²+y²+6x+2y-6=0 即（x+3）²+（y+1）²=16，
故圆心坐标为：C₂（-3，-1）
直线C₁C₂与AB垂直，所以直线l与C₁C₂平行，可知：l的斜率为k=$\frac{2+1}{1+3}$=$\frac{3}{4}$
由题意：$\frac{λ+2}{2λ-1}$=$\frac{3}{4}$   解得：λ=$\frac{11}{2}$
∴直线l的方程为：2x+y-5+$\frac{11}{2}$ （x-2y）=0
即：3x-4y-2=0．…（12分）

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，直线的交点系方程，点到直线的距离公式，难度中档．