Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）求二面角A-PC-D的平面角α的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先利用矩形和勾股定理求出线线垂直，最后利用线面垂直的判定证明结论．
（2）根据（1）的结论，进一步求出点D到PC的距离，点D到平面PAC的距离，最后求出结果．

解答： （1）证明：在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，
则四边形ADCE为矩形
∴AE=DC=1，又AB=2，
∴BE=1，在Rt△BEC中，∠ABC=45°，
∴CE=BE=1，CB=

2

∴AD=CE=1，
则AC=

AD2+DC2

=

2

，
AC²+BC²=AB²
∴BC⊥AC又
∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BC，PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC
（2）解：∵PA⊥平面AC，CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD，
又PA=AD=1，
AC=

2

∴PC=

3

PD=

2

∴点D到PC的距离h′=

S△PCD

1 2 •PC

=

2

3

在三棱锥P-ACD中，S△ADC=

1

2

•CD•AD=

1

2

，
S△PAC=

1

2

•AC•PA=

2

2

，
V_P-ACD=V_D-PAC；
∴点D到平面PAC的距离h=

VP-ACD

1 3 •S△PAC

=

1 3 •SADC•PA

1 3 •S△PAC

=

1

2

∴sinα=

h

h′

=

3

2

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理，利用体积的关系求夹角，属于中等题型．