Question

12．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是AB的中点，$A{A_1}=AC=CB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB$
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求二面角D-CB₁-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AC⊥平面BCC₁，即可证明：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）取BC中点E，过D作DF⊥B₁C于F，连接EF，证明∠EFD是二面角D-CB₁-B的平面角，即可求二面角D-CB₁-B的平面角的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∵AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC，
又 AC⊥C₁C，且BC∩C₁C=C
∴AC⊥平面BCC₁，又BC₁?平面BCC₁
∴AC⊥BC₁                   …（4分）
（Ⅱ）解：取BC中点E，过D作DF⊥B₁C于F，连接EF       …（5分）
∵D是AB中点，
∴DE∥AC，又AC⊥平面BB₁C₁C，
∴DE⊥平面BB₁C₁C，
又∵EF?平面BB₁C₁C，BC₁?平面BB₁C₁C
∴DE⊥EF．
∴BC₁⊥DE  
又∵DF⊥BC₁ 且DE∩DF=D
∴B₁C⊥平面DEF，EF?平面DEF         …（7分）
∴B₁C⊥EF
又∵DF⊥B₁C，
∴∠EFD是二面角D-CB₁-B的平面角      …（9分）
∵AC=BC=$\sqrt{2}$=AA₁
∴在△DEF中，DE⊥EF，$DE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$EF=\frac{1}{2}$，$DF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∴$cos∠EFD=\frac{EF}{DF}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（11分）
∴二面角D-CB₁-B余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

点评 本题考查空间中直线与平面之间的垂直关系，考查面与面的夹角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．