Question

设有两个命题：①关于x的方程9^x+（4+a）•3^x+4=0有解；②函数f(x)=log2a2-ax是减函数．当①与②至少有一个真命题时，实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：四种命题

专题：计算题,简易逻辑

分析：①可分离出a+4，转化为函数f（x）=-

32x+4

3x

的值域问题，令3^x=t，利用基本不等式和不等式的性质求值域即可．②函数f(x)=log2a2-ax是减函数，则0＜2a²-a＜1，求出a的范围，求并集即可．

解答： 解：①∵9^x+（4+a）•3^x+4=0，∴a+4=-

32x+4

3x

，
令3^x=t（t＞0），则-

32x+4

3x

=-（t+

4

t

）
因为t+

4

t

≥4，所以-

32x+4

3x

≤-4，
∴a+4≤-4，
∴a的范围为（-∞，-8]；
②函数f(x)=log2a2-ax是减函数，则0＜2a²-a＜1，∴-

1

2

＜a＜0或

1

2

＜a＜1，
∴当①与②至少有一个真命题时，a∈（-∞，-8]∪（-

1

2

，0）∪（

1

2

，1）．
故答案为：（-∞，-8]∪（-

1

2

，0）∪（

1

2

，1）．

点评：本题考查指数函数的定义、解析式、定义域和值域、方程有解问题、基本不等式求最值问题，考查对数函数，同时考查转化思想和换元法．