Question

函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

，
（1）确定函数f（x）的解析式；   
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性并用定义证明．
（3）解不等式f（2t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（0）=0，且f(

1

2

)=

2

5

，求解．（2）运用定义判断证明，主要是作差分解因式判断
（3）利用奇偶性，单调性，转化2t-1＜-t，解得；t＜

1

3

，可得解集．

解答： 解：（1）∵函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，即b=0
∵且f(

1

2

)=

2

5

，
∴a=1，
故函数f（x）的解析式f（x）=

x

1+x2

，
（2）证明：f（x）=

x

1+x2

，
设x₁＜x₂，且在（-1，1）上，
f（x₁）=

x1

1+ x 2 1

，f（x₂）=

x2

1+ x 2 2

，
f（x₁）-f（x₂）=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

∵x₁＜x₂，且在（-1，1）上，
∴x₁-x₂＜0，（1-x₁x₂）＞0，（1+x

2 1

）＞0，（1+x

2 2

）＞0
即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（-1，1）上的单调递增．
（3）不等式f（2t-1）+f（t）＜0，根据（1）（2）
即化为：不等式f（2t-1）＜f（-t），
2t-1＜-t，解得；t＜

1

3

，
不等式f（2t-1）+f（t）＜0的解集为：（-∞，

1

3

）

点评：本题考查了函数的奇偶性，单调性，判断与运用，求解析式，解不等式，是基本题型，难度不大．