Question

15．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=3S_n+2，n∈N．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{8n}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，S_n+1=3S_n+2（n＞1，n∈N^*），得S_n=3S_n-1+2（n＞1，n∈N^*），两式相减得：a_n+1=3a_n，由此能求通项公式，
（2）化简b_n=n•（$\frac{1}{3}$）^n-1，n≥2，利用错位相减法即可求出数列{b_n}的前n项和T_n．，

解答 解：（1）∵a₁=1，S_n+1=3S_n+2（n＞1，n∈N^*），①
∴S_n=3S_n-1+2（n＞1，n∈N^*），②
②-①，得：a_n+1=3a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=3，
当n=2时，S₂=a₂+a₁=3a₁+2，
∴a₂=4，
∴{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，n≥2
∴a_n=4×3^n-2，
当n=1时，a₁=1
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{4•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）当n=1时，b₁=$\frac{8}{{a}_{2}-{a}_{1}}$=$\frac{8}{3}$，T₁=b₁=$\frac{8}{3}$，
当n≥2时，b_n=$\frac{8n}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{8n}{4•{3}^{n-1}-4•{3}^{n-2}}$=n•（$\frac{1}{3}$）^n-2，
当n≥2时，T_n=$\frac{8}{3}$+2×（$\frac{1}{3}$）⁰+3×（$\frac{1}{3}$）¹+4×（$\frac{1}{3}$）²+…+n•（$\frac{1}{3}$）^n-2，
∴$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{8}{9}$+2×（$\frac{1}{3}$）¹+3×（$\frac{1}{3}$）²+…+（n-1）×（$\frac{1}{3}$）^n-2+n•（$\frac{1}{3}$）^n-1，
∴$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{25}{9}$+（$\frac{1}{3}$）⁰+（$\frac{1}{3}$）¹+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+…+（$\frac{1}{3}$）^n-2-n•（$\frac{1}{3}$）^n-1
=$\frac{25}{9}$+$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n-1}}}{1-\frac{1}{3}}$-n•（$\frac{1}{3}$）^n-1=$\frac{77}{18}$-（$\frac{3}{2}$+n）（$\frac{1}{3}$）^n-1，
∴T_n=$\frac{77}{12}$-（$\frac{n}{2}$+$\frac{3}{4}$）•（$\frac{1}{3}$）^n-2．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法的合理运用．